Педагогика для экспертов StudyExperts

Методика изучения  линейной, квадратной и  кубической функции в VII классе.

Основная часть работы начинается после построения графиков. Их нужно сравнить, обращая внимание на особенности графиков в зависимости от числовых значений коэффициентов. Опишем, например, методику выяснения геометрического смысла коэффици­ентов при переменной.

Следует обратить внимание на то, что графики (а) и (б) об­разуют с осью абсцисс одинаковые углы, это же имеет место и для графиков (в) и (г). Кроме того, графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс меньшие углы, чем (в) и (г). С другой стороны, коэффициенты при переменной в формуле для первой и второй функций одинаковы и меньше, чем соответствующие коэффициенты у третьей и четвертой функций. Можно после этого сформулировать вывод о зависимости рассмотренного угла от коэффициента, ввести термин «угловой коэффициент» и привести несколько закрепляю­щих упражнений.

Значительные трудности представляет случай отрицательных значений углового коэффициента; для него требуется отдельная работа, построенная аналогичным образом.

Приведём пример закрепляющего упражнения: на одном и том же чертеже изображены графики функций у =3

x

+2; у=3/4

x

+2.

Построить на этом же чертеже графики функций у = 3х—1;

у = 3/4х — 1

; объяснить построение.

Если параметры, определяющие класс функций, имеют ясный геометрический смысл, то описанный прием изучения дает доста­точно полное представление об этом классе. Однако в школьном курсе алгебры рассматриваются и такие классы, при изучении которых оказывается необходимым использовать и другие приемы.

Например, к изучению класса квадратичных функций привле­кается прием, основанный на преобразовании выражения, задаю­щего функцию, к виду а (х — b)2 + с, использовании геометрических преобразований для построения графика произвольной квадратич­ной функции из параболы стандартного положения — графика функции у=ах2, а≠0.

Остановимся на этом классе функций подробнее. Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратными уравнениями и неравенствами.

Первой из этого класса функций, в значительной степени еще вне изучения собственного класса, рассматривается функция у=х2

. Свойства этой функции во многом отличаются от рассмотренного ранее случая линейных функций. Прежде всего, эта функция не­монотонна; только на этом этапе у учащихся появляется пример функции, отличной от линейных, которые монотонны на всей об­ласти определения. Чтобы подчеркнуть указанное отличие, полезно предложить учащимся следующее задание: функция задана фор­мулой у=х2

на промежутке -2≤х≤3

. Найти множество значений этой функции. Перенося свойство монотонности с класса линейных функций на функцию у=х2

, учащиеся часто делают ошибку, при­водя ответ: промежуток 4≤

x

≤9.

Эта ошибка для своего устранения требует рассмотрения графика функции у=х2

.

Другое отличие состоит в том, что характер изменения зна­чений функции у=х2неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других — медленнее. Эта особенность выявляется при построении графика, причем целесообразно рассмотреть два гра­фика: один — в крупном масштабе на промежутке,. -1≤

x

≤1

, другой—в мелком масштабе на промежутке, например, -3≤х≤3

. Построение можно вести описанным выше методом загущения. Важно отметить свойство параболы - симметричность относительно оси абсцисс; в дальнейшем это свойство приведет к рассмотре­нию класса четных функций, причем именно функция у = х2будет ведущим примером функции этого класса.

Наиболее существенное применение, эта функция имеет при рассмотрении понятия иррационального числа. Первый пример иррационального числа (-√2)может быть введен различными спо­собами, но независимо от этого необходимо объяснить его связь с графическим методом решения уравнения х2=2