Педагогика для экспертов StudyExperts

Нестандартные задачи.

Отметим основные свойства магиче­ских квадратов.

Свойство 1.

Магический квадрат останется магическим, если все числа, входящие в его состав, увеличить или уменьшить на одно и то же число.

Свойство 2.

Магический квадрат останется магическим, если умножить или разделить все его числа на одно и то же число.

Пример 9.

В

квадрате на рис. 2,а магическая сумма равна 15; квадрат на рис. 2,б получается из него прибавле­нием 17 к каждому числу, его волшеб­ная сумма равна 15 + 3*17 = 66; умно­жив все числа в

новом квадрате на 2, получим еще один квадрат (рис. 2,в), магическая сумма которого равна 2*66 = 132.

рис.2

Свойство 3.

Если квадрат является магическим для какой-нибудь арифметической прогрес­сии, то он будет магическим для так же расположенной арифметической прогрессии с другим первым членом и с другой разностью.

Правило.

Составляя какой-либо магический квадрат, достаточно сна­чала составить его из простейших чи­сел, т.е. из чисел натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5, ., а затем путем умножения, деления, увеличения или же умень­шения этих чисел можно получить бесконечное число магических квадра­тов с самыми разнообразными магиче­скими суммами.

Свойство 4

. Из двух магических квадратов можно получить третий, складывая числа, расположенные в соответствующих полях. Магическая сумма такого квадрата равна сумме магических сумм обоих слагаемых: 81 = 15+66 (см. рис. 3).

рис.3

Свойство

5.

Квадрат не утратит своих магических свойств, если пере­ставить его столбцы и ряды, располо­женные симметрично относительно центра квадрата.

Построение нечетных магических квадратов.

Существует очень много различных методов построения маги­ческих квадратов:

индийский метод (рис.4),

рис.4

сиамский метод,

метод Баше (рис.5)

рис.5

Нужно также сказать о треугольниках с магическим периметром(рис.6).

рис.6

и о магических кругах

(рис.7). Но на них мы не будем подробно останавливаться, т.к. суть решения этих задач однотипна.

рис.7

Задачи в «математическую копил­ку учителя».

13.

Постройте магический квадрат 3 х 3, в котором расположите числа от3 до 11 так, чтобы по всем строкам, столбцам и диагоналям была одна и та же сумма.

14. В квадрате 4x4 расставьте четыре одинаковых буквы так, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в каж­дом вертикальном ряду и в каждой диагонали встречалась только одна буква.

15. В квадрате 4x4 расставьте 16 букв (четыре буквы а, четыре Ь, четы­ре с, четыре d) так, чтобы в каждом горизонтальном ряду и в каждом вертикальном ряду буква встречалась только один раз, т.е. постройте так называемый латинский квадрат раз­мером 4x4.

16. Переставьте числа в треугольни­ке, показанном на рис. 6, так, чтобы сумма чисел в каждом треугольнике (по 4 ячейки) стала равна 23, а в каж­дой трапеции (по 5 ячеек) - 22.

17. Задача Эйнштейна. Девять кру­гов расположены так, как показано на рис. 8,а. Расположите в них числа от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел, лежа­щих в вершинах каждого из семи изо­браженных на рисунке треугольников, была одна и та же.

рис.8

Ответ показан на рис. 8,б.

18. Заполните числами кружки так, чтобы сумма чисел в каждом ряду была равна 38 (рис.9,а).

Ответ показан на рис, 9,6.

рис.9

3. Олимпиадные задачи.

Эффективной формой внеклассной работы по математике являет­ся олимпиада. В нашем представлении это не единовременное меро­приятие в отдельно взятой школе, а целая система соревнований. Укажем ее важнейшие особенности.

1. Олимпиада должна занимать значительный промежуток вре­мени, по возможности — целый учебный год.