Структура решения задачи.
Роль задач в обучении математике невозможно переоценить. Через задачу естественно ввести проблемную ситуацию. Разрешив систему специально подобранных задач, ученик знакомится с существенными элементами новых алгоритмов, овладевает новыми техническими элементами. Применять математические знания в жизненных ситуациях учат соответствующие практические задачи. Очевидно, что, получив задачу, первое, что нужно сделать,— это разобраться в том, что это за задача, каковы ее условия, в чем состоят ее требования, т. е. провести тот анализ задачи, о котором говорилось в первой главе. Этот анализ и составляет первый этап процесса решения задачи.
В ряде случаев этот анализ надо как-то оформить, записать. Для этого, как вы знаете, используются разного рода схематические записи задач, построение которых составляет второй этап процесса решения.
Анализ задачи и построение ее схематической записи необходимо главным образом для того, чтобы найти способ решения данной задачи. Поиск этого способа составляет третий этап процесса решения.
Когда способ решения задачи найден, его нужно осуществить,— это будет уже четвертый этап процесса решения — этап осуществления (изложения) решения.
После того как решение осуществлено и изложено (письменно или устно), необходимо убедиться, что это решение правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этого производят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения.
При решении многих задач, кроме проверки, необходимо еще произвести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет решение и притом сколько различных решений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения и т. д. Все это составляет шестой этап процесса решения.
Убедившись в правильности решения и, если нужно, произведя исследование задачи, необходимо четко сформулировать ответ задачи,— это будет седьмой этап процесса решения.
Наконец, в учебных и познавательных целях полезно также произвести анализ выполненного решения, в частности установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения и т. д. Все это составляет последний, конечно не обязательный, восьмой этап решения.
Итак, весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:
1-й этап — анализ задачи;
2-й этап — схематическая запись задачи;
3-й этап — поиск способа решения задачи;
4-й этап — осуществление решения задачи;
5-й этап — проверка решения задачи;
6-й этап — исследование задачи;
7-й этап — формулирование ответа задачи;
8-й этап — анализ решения задачи.
Приведенная схема дает лишь общее представление о процессе решения задач как о сложном и многоплановом процессе. Исторически сложилось, что на ранних этапах развития математики решение задач было целью обучения. Ученик должен был заучить образцы и затем подводить под эти образцы решения задач. В основном решались типовые, стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмически разрешимых задач, т.е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения. Многообразные ситуации, возникающие на математическом и нематематическом материале, приводят как к стандартным, так и нестандартным задачам.