Методика введения понятий: функции, аргумента, области определения.
В настоящее время в изучении понятия функции в школе преобладающими являются два основных подхода: индуктивный и дедуктивный. Сложившись исторически, они наиболее полно отвечают целям и задачам образования, и поэтому именно им отдано предпочтение при изучении математики, в том числе функций, в средних классах школ.
Вот как, примерно, реализуется индуктивный подход к изучению понятия функции в 7 классе:
“На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. Например, площадь круга зависит от его радиуса, масса металлического бруска зависит от его объема и плотности металла, объем прямоугольного параллелепипеда зависит от его длины, ширины и высоты.
В дальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя величинами.
Рассмотрим примеры.”
Далее следуют примеры призванные наглядно продемонстрировать только что изложенный материал.
Пример 2. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна a см, а его площадь равна S
см2.
Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее значение переменной S
.
Так,
если a = 3, то S = 32 = 9;
если a = 15, то S = 152 = 225;
если a = 0,4, то S = 0,42 = 0,16.
Зависимость переменной S
от переменной a выражается формулой
S
= a2
(по смыслу задачи a > 0).
Затем дается первое определение зависимой и независимой переменных:
“Переменную a, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной
, а переменную S
, значения которой определяются выбранными значениями a, - зависимой переменной
”.
П р и м е р 3. На рисунке изображен график температуры воздуха в течении суток.
С помощью этого графика для каждого момента времени t(в часах), где 0 £ t
£ 24, можно найти соответствующую температуру p (в градусах Цельсия). Например,
если t
= 6, то p = -2;
если t
= 12, то p = 2;
если t
= 17, то p = 3;
Здесь t
является независимой переменной, а p - зависимой переменной.
Пример 4. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которой относится станция. Эта зависимость показана в таблице (буквой n обозначен номер зоны, а буквой m - соответствующая стоимость проезда в рублях):
По этой таблице для каждого значения n, где n = 1, 2, ., 9, можно найти соответствующее значение m. Так,
если n = 2, то m = 1.5;
если n = 6, то m = 4 ;
если n = 9, то m = 8.5;
В этом случае n является независимой переменной, а m - зависимой переменной.”
Обилие примеров, призванных проиллюстрировать понятие функции, объясняется тем фактом, что проводя аналогии между различными примерами, учащиеся интуитивно нащупывают суть этого понятия, строят догадку относительно функциональных зависимостей в быту и в природе, и получают ее подтверждение в последующих примерах. Второй не менее важной причиной является то, что каждый из этих примеров содержит функцию заданную одним из возможных способов. В первом примере она задана аналитически, во втором - графически, в третьем это таблица. Это не случайность, разбирая примеры вместе с учителем, дети сразу привыкают к различным способам задания функций. И когда преподаватель начнет рассказывать параграф о способах задания функций, ученикам будет гораздо легче осознать новый материал, потому что для них он не будет абсолютно новым - они уже сталкивались с этим ранее.
Далее дается само определение функции, вводятся термины аргумент
и значение функции
.
“В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью
или функцией
.
Независимую переменную иначе называют аргументом
, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией
от этого аргумента. Так, площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденный автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения. Значения зависимой переменной называют значениями функции
.
Все значения которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции
.”